Toplama İşlemi ile Çarpma İşlemi Arasındaki İlişki
Aynı sayıların toplamında, toplanan sayı adedi ile toplanan sayının çarpımı şeklinde gösterilir.
Örnek: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 6.3 olur.
6 tane 3 sayının toplamı 6.3 ile bulunabilir.
Örnek: (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = 5.(-4) olur.
5 tane -4 sayının toplamı 5.(-4) ile bulunabilir.
Örnek: 5 + 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8 = 4.5 + 3.8 olur.
4 tane 5 sayısının toplamı 4.5 ve 3 tane 8 sayısının toplamı 3.8 ile bulunabilir.
Soru: Bir sondaj makinesi toprağı saatte 3 m delebilmektedir. Aralıksız olarak 5 saat çalışan bu sondaj makinesinin ucunun ulaştığı derinliğin toprak yüzeyine göre konumunu bulalım.
Çözüm:
Sondaj makinesinin ucunun ulaştığı derinliğin toprak yüzeyine göre konumunu toplama işleminden yararlanarak bulalım.
(-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = 5.(-3) = -15 m
5.(-3) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.
5.(-3) işlemini sayı doğrusu üzerinde modelleyelim,
5.(-3) işlemini sayı doğrusu üzerinde modellerken 0′ dan başlayarak her seferinde sola doğru 3 br ilerlemeliyiz. Çünkü modellemesi yapılan işlemde 5 tane (-3) istenmektedir. Bu nedenle modelleme aşağıdaki gibi olacaktır.
Tam Sayılarda Çarpma İşlemi
Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitif bir tam sayıdır.
Örnek: (+4).(+7) = +28
4 ve 7’ nin işaretleri (+) aynı olduğu için çarpımlarının işaretleri (+) olur.
Örnek: (-3).(-8) = +24
3 ve 8’ in işaretleri (-) aynı olduğu için çarpımlarının işaretleri (+) olur.
Zıt İşaretli iki tam sayının çarpımı negatif bir tam sayıdır.
Örnek: (+2).(-9) = -18
2’ nin işareti (+) 9’ un işareti (-) olduğu için zıt işaretlidirler. Çarpımlarının işareti (-) olur.
Örnek: (-4).(+3) = -12
4’ ün işareti (-) 3’ ün işareti (+) olduğu için zıt işaretlidirler. Çarpımlarının işareti (-) olur.
Örnek: Bir laboratuvarda termometre 0° C’ u göstermektedir. Bu laboratuvarda sıcaklık her dakika 2° C düştüğüne göre 3 dakika sonra termometrenin kaç °C’ u göstereceğini sayı doğrusunda modelleyerek bulalım.
Bir tam sayının +1 ile çarpımı o tam sayının kendisine eşittir.
Örnek: (-6).(+1) = -(6.1)
= -6’ dır.
-6 sayının +1 ile çarpımında sonuç -6 ile kendisine eşit oldu.
Bir tam sayının -1 ile çarpımı o tam sayının toplama işlemine göre tersine yani zıt işaretlisine eşittir.
Örnek: (-6).(-1) = +(6.1)
=6’ dır.
-6 sayısının -1 ile çarpımında sonuç +6 ile zıt işaretlisine eşit oldu.
Bir tam sayının 0 ile çarpımında sonuç her zaman 0’ dır.
Örnek: (-25).0 = 0 , (30).0 = 0 işlemlerinde olduğu gibi sonuç her zaman 0 bulunur.
Çarpma İşleminin Özellikleri
Çarpma İşleminin Değişme Özelliği
Çarpılan sayıların yerleri değiştiğinde sonuç değişmediği için çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
Örnek: (+2).(+5) = (+5).(+2) = +10
Örnek: (-4).(+7) = (+7).(-4) = -28
Birleşme Özelliği
2’ den fazla tam sayının çarpma işlemi yapılırken, çarpılan sayılardan herhangi iki tanesini paranteze alıp işlemini önce yapmak sonucu değiştirmediği için çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
Örnek: (+3).((-5).(+7)) = ((+3).(-5)).(+7)
Eşitliğin sol tarafında ilk önce parantez içindeki (-5) ile (+7)’ yi çarpıyoruz.
(-5).(+7) = -35, çıkan sonucu +3 ile çarparız. (+3).(-35) = -105 bulunur.
Eşitliğin sağ tarafında ilk önce parantez içindeki (+3) ile (-5)’ i çarpıyoruz.
(+3).(-5) = -15, çıkan sonucu +7 ile çarparız. (-15).(+7) = -105 bulunur.
Çarpma İşleminin Toplama ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği
a.(b+c) = a.b + a.c
a.(b-c) = a.b – a.c
Örnek: (-3).((+6)+(+4)) çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak bulalım.
(-3).((+6)+(+4)) = (-3).(+6) + (-3).(+4)
= (-18) + (-12)
=-30 bulunur.
Örnek: (-4).((+5)-(+2)) çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak bulalım.
(-4).((+5)-(+2)) = (-4).(+5) – (-4).(+2)
= (-20) – (-8)
= (-20) + (+8)
= -12 bulunur.
Çarpma İşleminin Etkisiz(Birim) Elemanı
Her tam sayının +1 ile çarpımı kendisine eşittir. Bundan dolayı +1 sayısı çarpma işleminin etkisiz elamanıdır.
Örnek: (-8).(+1) = (+1).(-8) = -8
Çarpma İşleminin Yutan Elemanı
Her tam sayının 0 ile çarpımında sonuç 0’ dır. Bundan dolayı 0 sayısı çarpma işleminin yutan elemanıdır.
Örnek: (+8).0 = 0.(+8) = 0
Tam Sayılarda Bölme İşlemi
Aynı işaretli iki tam sayının birbirine bölümü pozitif bir tam sayıdır.
Örnek: (+12) : (+2) = + (12:2)
= +6’ dır.
Örnek: (-14) : (-7) = +(14:7)
= +2’ dir.
Zıt işaretli iki tam sayının birbirine bölümü negatif bir tam sayıdır.
Örnek: (-20) : (+5) = – (20:5)
= -4 bulunur.
Örnek: (+35) : (-7) = -(35:7)
=-5 bulunur.
Örnek: Aşağıda verilen bölme işlemlerini sayma pullarıyla modelleyelim.
a) 8 : 2 b) (-6) : 3
Çarpma işleminin bölme işlemi ile ilişkisinden yararlanarak işlemi kontrol edelim.
Bölünen = Bölen.Bölünen
Bölünen = 2.4
8 = 2.4
Çarpma işleminin bölme işlemi ile ilişkisinden yararlanarak işlemi kontrol edelim.
Bölünen = Bölen.Bölünen
Bölünen = 3.(-2)
(-6) = 3.(-2)
Yapılan bölme işlemleri çarpma işlemi ile kontrol edildiğinde bölme işlemlerinin sonuçlarının doğru olduğu görülür.
Bir tam sayının +1’ e bölümü o tam sayının kendisine eşittir.
Örnek: (+15) : (+1) = +(15:1)
=+15 bulunur.
Bir tam sayının -1’ e bölümü o tam sayının toplama işlemine göre tersine yani zıt işaretlisine eşittir.
Örnek: (-12) : (-1) = + (12:1)
= +12 bulunur.
Sıfır sayısının sıfırdan başka(farklı) bir tam sayıya bölümü sıfırdır.
Örnek: 0 : (-5) = 0 bulunur.
Sıfırdan farklı bir tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
Örnek: (-7) : 0 = Tanımsızdır.
Soru: Toprak yüzeyinden 12 metre aşağıdaki madene inmek isteyen bir madenci, her 2 metrede bir kez güvenlik tuşuna basmak zorundadır. Madencinin madene ulaştığında toplam kaç kez güvenlik tuşuna bastığını bulalım.
Çözüm:
Maden, toprak yüzeyinin 12 metre altındadır. Toprak yüzeyi 0 ile gösterilirse madenin derinliği -12 ile ifade edilir. Madenci aşağıya inerken her 2 metre derinlikte tuşa basmak zorundadır. Bu durum -2 ile gösterilir. Madencinin güvenlik tuşuna basma sayısı (-12) : (-2) işlemi ile bulunur.
Negatif bir tam sayının negatif bir tam sayıya bölümü pozitif olduğundan (-12) : (-2) = +6 olarak bulunur.
Bu durumda madenci madene ulaştığında toplam 6 kez güvenlik tuşuna basmıştır.