ARALARINDA ASAL SAYILAR
1′ den başka ortak böleni olmayan iki ya da daha fazla doğal sayıya aralarında asal sayılar denir.
- 1 ile bütün pozitif doğal sayılar aralarında asaldır.
- Asal sayılar birbirleriyle aralarında asaldır.
- Aralarında asal sayıların EBOB’ u 1′ dir.
- Aralarında asal iki sayının EKOK’ u sayıların çarpımına eşittir.
- Ardışık sayılar ve ardışık tek sayılar aralarında asal sayılardır.
Örnek: 16 ve 25 sayıları aralarında asal mıdır?
İlk önce bu sayıların bölenlerini bulalım.
16′ nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16
25′ in bölenleri: 1, 5, 25
16 ve 25′ in ortak böleni 1 olduğundan 16 ve 25 sayıları aralarında asaldır.
Örnek: 16 ve 28 sayıları aralarında asal mıdır?
İlk önce bu sayıların bölenlerini bulalım.
16′ nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16
28′ in bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28
16 ve 28′ in ortak bölenleri: 1, 2, 4′ tür. 1′ den başka ortak bölenleri olduğu
için 16 ve 28 sayıları aralarında asal değildir.
Örnek: 16 ve 25 sayılarının arasında asal olduklarını bulmuştuk.
Buradan EBOB (16,25) = 1 , EKOK (16,25) = 16.25 = 400′ dür.
Örnek: 8 ve 9 sayıları aralarında asal sayılardır. (8 ve 9 sayıları ardışık sayılar)
Bu durumda 8 ve 9′ un Ekok’ u iki sayının çarpımına eşittir. EKOK (8,9) = 72′ dir.
Örnek: Arasında asal iki doğal sayının çarpımı 21 dir. Buna göre bu sayıların toplamı en az kaç olabilir?
Çözüm:
1′ den başka ortak böleni olmayan iki ya da daha fazla doğal sayıya aralarında asal sayılardır. Burada 21 sayısını iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazmalıyız.
21 = 1.21 = 3.7 şeklinde yazılabilir.
Buradan 1 ile 21 ve 3 ile 7 ikisi de arasında asaldır.
Toplamı en az sorulduğu için 3 + 7 = 10 bulunur.
Soru: 1’den 30’a kadar (1 ve 30 dahil) olan doğal sayılardan kaç tanesi 6 ile arasında asaldır?
Çözüm:
1′ den başka ortak böleni olmayan iki ya da daha fazla doğal sayıya aralarında asal sayılardır. Bizden 6 ile aralarında asal olması istenmiş. 6’nın bölenleri 1, 2, 3 ve 6’dır. 2, 3 ve 6’ya bölünmemesine dikkat etmemiz gerekiyor.
Çözüme daha hızlı ulaşmak için 2’nin katları yani çift olan sayıları eleriz. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Aynı şekilde 3’ün katlarını da eleriz. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
6 geriye kalan sayılar ile arasında asaldır.
Bunlar 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 ile arasında asaldır. 10 tanesi ile arasında asaldır.