MANTIK

ÖNERMELER

Tanım: Doğru ya da yanlış kesin hüküm belirten cümleye önerme denir. Doğru önermeler D harfi ya da 1 rakamı ile yanlış önermeler Y harfi ya da 0 rakamı ile gösterilir.

• Bir önerme hem doğru hem yanlış olamaz.
• Emir cümleleri önerme değildir.
• Soru cümleleri önerme değildir.
• Anlamsız cümle önerme değildir.
• Bir cümlenin önerme olabilmesi için

1. Kesin hüküm bildirmeli
2. Bu hüküm doğru ya da yanlış olmalıdır.

Örnek:

• Bir yıl 12 aydır. ( Doğru önerme)
• 9 çift sayıdır. (Yanlış önerme)
• Arda çok yaşa! (Önerme değildir.)

NOT: n tane bağımsız önermenin doğruluk değeri 2ⁿ değişik biçimde sıralanabilir.

EŞDEĞER(DENK) ÖNERMELER

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye eşdeğer(denk) önermeler denir. p ve q önermeleri denk iki önerme ise p≡q şeklinde gösterilir.

Örnek:

p: Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.

q: Bir yıl 12 aydır.

Her iki önerme doğru olduğundan p≡q olur.

BİR ÖNERMENİN OLUMUSUZU(DEĞİLİ)

p önermesinin olumsuzu p’ ya da ~p ile gösterilir.

NOT: (p’)’ ≡ p dir.

Örnek:

p: 9 çift sayıdır. Olumsuzu     p’: 9 çift sayı değildir.

q: 6+11 > 5.3  Olumsuzu        q’: 6+11 < 5.3

AÇIK ÖNERME:

İçerisinde en az bir değişken bulunan ve değişkene verilebilen değerlerle doğru ya da yanlışlığı kesinlikle tespit edilen ifadelere açık önerme denir.

Örnek: x bir doğal sayı olmak üzere 2x-5 > 3 açık önermedir

4x+5y = 20 ifadesi bir açık önermedir.

BİLEŞİK ÖNERME

En az iki önermenin bir bağlaçla bağlanmasına bileşik önerme denir.

Bağlaçlar veya(V), ve(Λ), ise(⇒), ancak ve ancak(⇔) şeklinde gösterilir.

p veya q (p V q) Bileşik Önermesi

p ve q önermelerinin her ikisi de yanlış iken yanlış diğer hallerde p veya q önermesi doğrudur.

NOT: pV1 ≡ 1  ve  pV0 ≡ p

P ve q (p Λ q) Bileşik Önermesi

P ve q önermelerinin her ikisi de doğru iken doğru diğer hallerde “p ve q” önermesi yanlıştır.

NOT: p Λ 0 ≡ 0  ve 1 Λ p ≡ 1

Veya(V) Bağlacının Özellikleri

1. p V p ≡ p (Tek Kuvvet Özelliği)
2. p V q ≡ q V p (Değişme Özelliği)
3. (p V q) V r ≡ p V (p V r) (Birleşme Özelliği)
4. p V (q Λ r) ≡ (p V r) Λ (p V r) (Dağılma Özelliği)
5. (p V q)’ ≡ p’ Λ q’ (De Morgan Kuralı)

Ve(Λ) Bağlacının Özellikleri

1. p Λ p ≡ p (Tek Kuvvet Özelliği)
2. p Λ q ≡ q Λ p (Değişme Özelliği)
3. (p Λ q) Λ r ≡ p Λ (p Λ r) (Birleşme Özelliği)
4. p Λ (q V r) ≡ (p Λ r) V (p Λ r) (Dağılma Özelliği)
5. (p Λ q)’ ≡ p’ V q’ (De Morgan Kuralı)

Örnek: [(1 V 0) Λ (0 Λ 1)] V (1′ V 1) önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Çözüm: İlk önce köşeli parantezin içini yapmamız gerekiyor.

1 V 0 ≡ 1

0 Λ 1 ≡ 0

1′ V 1 ≡ 0 V 1

Yerlerine yazalım.

(1 Λ 0) V (0 V 1) ≡ 0 V 1 ≡ 1 bulunur.

Örnek: [(1 Λ 0′) V (0′ Λ 1)’] Λ [(0′ Λ 0) V (1 V 0′)] önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Çözüm: İlk önce köşeli parantezlerin içini bulalım. Sol taraftan başlayalım.

1 Λ 0′ ≡ 1 Λ 1 ≡ 1

(0′ Λ 1)’ ≡ (1 Λ 1)’ ≡ 1′ ≡ 0

(1 V 0) bulunur.

Sağ taraf,

0′ Λ 0 ≡ 1 Λ 0 ≡ 0

1 V 0′ ≡ 1 V 1 ≡ 1

(0 V 1) bulunur.

(1 V 0) Λ (0 V 1) ≡ 1 Λ 1 ≡ 1 bulunur.

Örnek: (p V r’) Λ (r Λ q’) ≡ 1  p ,q ve r’nin doğruluk değerlerini bulalım.

Çözüm:

(p V r’) Λ (r Λ q’) ≡ 1 ise

(p V r’) ≡ 1 ve (r Λ q’) ≡ 1 olmalıdır.

r Λ q’ ≡ 1 ise r ≡ 1 ve q’ ≡ 1

                 ise r ≡ 1 ve q ≡ 0 dır.

p V r’≡ 1 ise p V 1′ ≡ 1

                  ise p V 0 ≡ 1

                  ise p ≡ 1 dir.

O halde, p≡1, q ≡ 0, r ≡ 1 bulunur.

TOTOLOJİ

Bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima doğru olan bileşik önermelere totoloji denir.

ÇELİŞKİ

Bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima yanlış olan bileşik önermedir.

Örnek: (p Λ q) V (p’ V q’) bileşik önermesinin sonucu bulalım.

Çözüm:

(p Λ q) V (p’ V q’)

(p Λ q) V (p Λ q)’ ise (p Λ q) ≡ 0 için

0 V 0′ ≡ 1 olur.

(p Λ q) ≡ 1 için

1 V 1′ ≡ 1 olur.

İki durum içinde doğruluk değerleri doğru olduğundan totoloji olur.

Örnek: (p Λ q’)’ Λ (p’ V q)’ bileşik önermesinin sonucu bulalım.

Çözüm:

(p Λ q’)’ Λ (p’ V q)’

(p’ Λ q) Λ (p’ V q)’ ise (p’ Λ q) ≡ r için

r Λ r’ olur.

Buradan r Λ r’ ≡ 0 bulunur.

Bileşik önerme bir çelişkidir.

Örnek: p’ V (p’ V q’)’ bileşik önermesinin en sade halini bulalım.

Çözüm:

 p’ V (p’ V q’)’ ≡ p’ Λ ((p’)’ Λ (q’)’)

                        ≡ p’ Λ (p Λ q) (Birleşme özelliğinden)

                        ≡ (p’ Λ p) Λ q (p Λ p ≡ 0 olduğundan)

                        ≡ 0 Λ q

                        ≡ 0 bulunur.

Bileşik önerme bir çelişkidir.

KOŞULLU ÖNERMELER

P ve q önermelerinin ise (⇒) bağlacıyla birleştirilmesinde elde edilen p ve q önermesine koşullu önerme denir.

p ⇒ q önermesi p doğru q yanlış iken yanlış diğer durumlarda daima doğrudur.

Örnek: p ⇒ q ≡ p’ V q olduğunu gösterelim.

Çözüm:

p ⇒ q ≡ p’ V q tüm doğruluk değerleri eşittir.

İse (⇒) Bağlacının Özellikleri

• p ⇒ q ≡ p’ V q
• (p ⇒ q)’ ≡ (p’ V q)’ ≡ p Λ q’
• p ⇒ q ≡ q’ ⇒ p’
• p ⇒ p ≡ 1
• p ⇒ 1 ≡ 1
• 1 ⇒ p ≡ 1
• p ⇒ 0 ≡ p’
• 0 ⇒ p ≡ p’
• p ⇒ p’ ≡ p’
• p’ ⇒ p ≡ p

p ⇒ q önermesinin

karşıtı : q ⇒ p

tersi : p’ ⇒ q’

karşıt tersi : q’ ⇒ p’

Örnek: p ⇒ (p V q) önermesinin en sade şeklini bulalım.

Çözüm:

p ⇒ (p V q) ≡ p’ V (p V q) (Birleşme Özelliğinden)

                       ≡ (p’ V p) V q (p’ V p ≡ 1)

                       ≡ 1 V q

                       ≡ 1 bulunur.

Örnek: (p’ V q’)’ ⇒ (q V p’) önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Çözüm:

p ⇒ q ≡ p’ V q özelliğini kullancağız.

İlk ifadenin değilini alırız.

(p’ V q’)’ ⇒ (q V p’) ≡ ((p’ V q’)’) V (q V p’)

                                      ≡ (p’ V q’) V (q V p’)

                                       ≡ p’ V (q’ V q)

                                       ≡ p’ V 1 ≡ 1 bulunur. (Totoloji)

Örnek: [p Λ (p Λ q’)’] ⇒ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Çözüm:

 [p Λ (p Λ q’)’] ⇒ q ≡ [p Λ (p’ V q)] ⇒ q

                                    ≡ [(p Λ p’) V (p Λ q)] ⇒ q

                                    ≡ [0 V (p Λ q)] ⇒ q

                                    ≡ (p Λ q) ⇒ q

 p ⇒ q ≡ p’ V q özelliğini kullanırız.

                                    ≡ (p Λ q)’ V q

                                    ≡ (p’ V q’) V q

                                    ≡ p’ V (q’ V q)

                                    ≡ p’ V 1 ≡ 1 bulunur. (Totoloji)

ÇİFT GEREKTİRME İKİ YÖNLÜ KOŞULLUN ÖNERME

p ⇒ q şartlı önermesi ile karşıtı olan q ⇒ p şartlı önermesinin Λ bağlacı ile bağlanmasına iki yönlü koşullu önerme denir.

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p)  “p ancak ve ancak q”

⇔ Bağlacının Özellikleri

1. p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p)
2. p ⇔ q ≡ q ⇔ p
3. p ⇔ p ≡ 1
4. (p ⇔ q) ⇔ r ≡ p ⇔ (q ⇔ r)
5. p ⇔ 0 ≡ p’
6. p ⇔ 1 ≡ 1
7. p ⇔ p’ ≡ 0
8. p ⇔ q ≡ p’ ⇔ q’

Örnek: (p ⇒ q) ⇔ (p Λ q’)’ önermesinin en sade şeklini bulalım.

Çözüm:

(p ⇒ q) ⇔ (p Λ q’)’ için p ⇒ q ≡ p’ V q olduğundan

(p’ V q) ⇔ (p’ V q) olur p’ V q ≡ r dersek

r  ⇔ r’ ≡ 1 bulunur.

Örnek:

p : “n tek bir sayıdır.”

q : “n+1 çift sayıdır.”

önermelerine göre p ⇔ q önermesi bir çift gerektirme midir?

Çözüm:

p ≡ 0 ise q ≡ 0 dır. Bu durumda,

p ⇒ q ≡ 0 ⇔ 0

            ≡ 1 olup çift gerektirmedir.

p ≡ 1 ise q ≡ 1 dir. Bu durumda,

p ⇒ q ≡ 1 ⇔ 1

            ≡ 1 olup çift gerektirmedir.

O halde, (n tek sayıdır.)⇔ (n+1 çift sayıdır.) önermesi bir çift gerektirmedir.

Örnek: (p ⇒ q’) ⇔ (p Λ q’)’

Çözüm:

(p ⇒ q’) ⇔ (p Λ q’)’ ≡ (p ⇒ q’) ⇔ (p’ V q)

                                       ≡ (p ⇒ q’) ⇔ (p ⇒ q)

                                       ≡ p ⇒ (q’ ⇔ q)

                                       ≡ p ⇒ 0

                                       ≡ p’ V 0

                                       ≡ p’

Örnek: [p ⇒ (p ⇔ q)]’ bileşik önermesinin en sade şeklini bulalım.

Çözüm:

[p ⇒ (p ⇔ q)]’ ≡ [p’ V (p ⇔ q)]’

                             ≡ p Λ (p ⇔ q)’

                             ≡ p Λ [(p ⇒ q) Λ (q ⇒ p)]’

                             ≡ p Λ [(p’ V q) Λ (q’ V p)]’

                             ≡ p Λ [(p’ V q)’ V (q’ V p)’]

                             ≡ p Λ [(p Λ q’) V (q Λ p’)]

                             ≡ [p Λ (p Λ q’)] V [p Λ (q Λ p’)]

                             ≡ [(p Λ p) Λ q’)] V [q Λ (p Λ p’)]

                             ≡ (p Λ q’) V (q Λ 0)

                             ≡ (p Λ q’) V 0

                             ≡ p Λ q’ bulunur.

BİLEŞİK NİCELEYİCİLER

1. En az (Ǝ) bir x tam sayısı için 3x-7 < 6

“bazı”, “bir kısım”, “en az bir” yerine “Ǝ” sembolü ile gösterilir.

2. Her (∀) çift sayı 2 ile bölünür.

“Her” , “Bütün” yerine “∀” sembolü ile gösterilir.

Örnek: ∀x ∈ R için x²-4 < 0 önermesinin olumsuzunu bulalım.

Çözüm:

Ǝx ∈ R    x²-4 ≥ 0 dır.

Örnek: (∀x ∈ R, x² ≥ 0) V (Ǝx ∈ R, x³ < 0) önermesinin olumsuzunu bulalım.

Çözüm:

(∀x ∈ R, x² ≥ 0) V (Ǝx ∈ R, x³ < 0)

≡ (∀x ∈ R, x² ≥ 0)’ Λ (Ǝx ∈ R, x³ < 0)’

≡ (∀x ∈ R, x² < 0) V (Ǝx ∈ R, x³ ≥ 0)

şeklinde bulunur.

Örnek: (∀x ∈ R, x² > 0) V (Ǝx ∈ R, x² < x) önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Çözüm:

(∀x ∈ R, x² > 0) ≡ 0 dır. Çünkü, x = 0 için x² = 0 olduğundan (∀x ∈ R, x² ≥ 0) olmalıdır.

(Ǝx ∈ R, x² < x) ≡ 1 dir. Çünkü, 0 < x < 1 için x² < x olur.

Buradan,

(∀x ∈ R, x² > 0) ⇒ (Ǝx ∈ R, x² < x) ≡ 0 ⇒ 1 ≡ 1 bulunur.