9. Sınıf Kümeler Konu Anlatımı

KÜMELER

Küme, iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğudur.

Aşağıdaki topluluklar birer küme belirtir.

  • Kiremithane Mesleki ve Teknik Anadolu Lisesi Yeşilay Kulübü öğrencileri
  • Asal rakamlar
  • Artvin ilinin ilçeleri
  • 3 ile 4 arasındaki gerçek sayılar.

Yukarıda verilen kümelerden 3 ile 4 arasındaki gerçek sayılar kümesi sayılamaz diğerleri sayılabilir çokluktadır.

Kümelerin Farklı Gösterimleri

Liste Yöntemi

Kümeye ait tüm elemanlar, küme parantezi olan ”{ }” şekli içerisine aralarına virgül konularak yazılır. Her eleman yalnız bir kez yazılır ve elemanların birbirleriyle yer değiştirmesi yeni bir küme oluşturmaz.

Örnek: Asal rakamlar kümesini liste yöntemi ile gösterelim.

Çözüm:

Asal rakamlar kümesini A ile gösterelim. A = {2, 3, 5, 7} dir.

Örnek: Çift rakamlar kümesini liste yöntemi ile gösterelim.

Çözüm: Çift rakamlar kümesini B ile gösterelim. B = {0, 2, 4, 6, 8}

Ortak Özellik Yöntemi

Ortak özellik yöntemi, kümeye ait her elemanın özelliği yazılarak yapılan gösterim biçimidir.

A = {x | x çift rakam} ifadesi ortak özellik yöntemi ile yapılan bir gösterimdir.

Kullanılan “|” sembolü öyle ki anlamına gelir. Küme içerisinde kullanılan değişkenin hemen ardından yazılır. “|” sembolü yerine “:” sembolü de kullanılabilir.

Örnek: K = {x| 6 ≤ x < 15, x tek doğal sayı} kümesini liste biçiminde yazalım.

Çözüm: K = {7, 9, 11, 13}

Örnek: L = {x2 < 28, x tam sayı} kümesini liste biçiminde yazalım.

Çözüm: L = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Venn Şeması Yöntemi

Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri veya bir çokgen içerisine yanlarına birer nokta konularak yazılmasıyla yapılan gösterimdir.

Sonlu ve Sonsuz Kümeler

Bir kümenin elemanları sayılabilir çoklukta ise bu kümeye sonlu küme adı verilir.

Bir kümenin elaman sayısı s(A) ile gösterilir.

Örnek:

A = {1, 3, 5, 7, 9} ise s(A) = 5 olur. A kümesi sonlu bir kümedir.

B = {x| -1017 < x < 1017, x tam sayı} kümesinin elemanları -1016’dan başlar ve 1016’da biter. Bundan dolayı B kümesi sonlu bir kümedir.

Sonlu olmayan kümelere sonsuz küme adı verilir.

C = {x| 11 < x, x tam sayı} kümesinin eleman sayısı bulunamaz. Kümenin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralanırsa en küçük elemanı 12 olur ve diğer elemanlar birer birer artarak devam eder. Bu artış hiçbir zaman bitmez. Bundan dolayı C kümesi sonsuz bir kümedir.

Örnek: 4’ün katı olan ardışık tam sayıları liste yöntemiyle gösterelim.

Çözüm:

A = {… ,-12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, …} olarak gösterebiliriz. A kümesi sonsuz bir kümdedir.

Boş Küme

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme ∅ veya { } ile gösterilir.

Örnek: Haftanın a harfi ile başlayan günleri kümesine A dersek haftanın a harfi ile başlayan günleri olmadığından A = ∅ veya s(A) = 0 olur.

Evrensel Küme

Üzerinde işlem yapılan, tüm kümeleri içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme adı verilir. Evrensel küme E ile gösterilir.

Örnek: A ={1, 3, 5, 7, 9} kümesi ve E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} evrensel kümesini Venn şeması ile gösteriniz.

Çözüm:

ALT KÜME

A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir, denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi iken A’nın elemanları ile B’nin elemanlarının aynı olma durumu varsa A ⊆ B ile gösterilir. B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B ⊃ A ile gösterilir. Venn şeması ile aşağıdaki gibi çizim yapılarak gösterilir. A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa A kümesi B kümesini alt kümesi değildir denir. Bu ifade A ⊈ B ile gösterilir.

Örnek:

A = {elma, armut, kiraz, portakal, mandalina}

B = {elma, portakal} kümelerini Venn şeması ile gösteriniz.

Çözüm:

Alt Kümenin Özellikleri

  • Boş küme her kümenin alt kümesidir. ∅ ⊈ A dir.
  • Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊆ A dir.
  • A, B ve C kümeleri için A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C dir.

Alt Küme Sayısı

A = {1, 2, 3} kümesinin elemanlarını kullanarak

  • 3 elemanlı bir küme {1, 2, 3},
  • 2 elemanlı kümeler oluşturulursa {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},
  • 1 elemanlı kümeler oluşturulursa {1}, {2}, {3},
  • 0 elemanlı küme oluşturulursa { },

olmak üzere 8 tane alt küme oluşur.

NOT: n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülü ile hesaplanır.

Boş kümenin alt küme sayısı 20 = 1 dir. Yani kendisidir.

Örnek: 7 elemanlı bir B kümesinin alt küme sayısını 2n formülünden n eleman sayısı olmak üzere 27 = 128 elemanlı bulunur.

NOT: n elemanlı bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümeleri öz alt küme olarak isimlendirilir ve öz alt küme sayısı 2n – 1 ile hesaplanır.

Örnek: ANTALYA kelimesindeki harfler kullanılarak oluşturulan A kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamını bulunuz.

Çözüm:

İstenen Küme: A = {A, L, N, T, Y} olarak yazılır. Bu durumda s(A) = 5 olur. A kümesinin alt küme sayısı 25 = 32, öz alt küme sayısı 25 – 1 = 31 olduğundan toplamları 32+31 = 63 bulunur.

Örnek: A = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunmaz?

Çözüm:

A kümesinden a elemanı çıkarılarak B = {b, c, d} kümesi elde edilir. B kümesinin tüm alt kümelerinde a elemanı bulunmaz. Bu durumda s(B) = 3 için 23 = 8 olur.

Örnek: A = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinden kaçında a elemanı bulunur?

Çözüm:

A kümesinin tüm alt kümelerinden a nın bulunmadığı alt kümeler çıkarılınca geriye a nın bulunduğu alt kümeler kalacaktır. Bu durumda 24 – 23 = 8 olur.

İkinci Yol:

A elemanının bulunmadığı alt kümeler; {}, {b}, {c}, {d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {b,c,d} olarak yazılır. Bu kümelerin her birine a elemanı eklenirse {a}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {a,b,c,d} kümeleri elde edilir. Bu kümelerin tamamında a eleman olarak bulunur. Bu durumda a elemanının bulunduğu alt kümelerin sayısı ile {b,c,d} kümesinin alt kümeleri sayısı eşit olup 23 = 8 olur.

Örnek: A = {m, n, o, p, r} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde

  1. p elemanı bulunur, m elemanı bulunmaz?
  2. p ve m elemanları birlikte bulunur?
  3. p ve m elemanları birlikte bulunur n elemanı bulunmaz?
  4. p ve m elemanlarından yalnız biri bulunur?
  5. p veya m elemanları bulunur?

Çözüm:

  1. A kümesinden p ve m elemanları çıkarılarak yeni bir küme elde edilir. Bu küme B ile gösterilsin. B = {n, o, r} kümesinin alt kümelerinin hiç birinde p ve m elemanları bulunmaz . 23 = 8 tane olarak elde edilen her alt kümeye p eleman olarak eklenirse bu kümelerin her birinde p elemanı bulunur, m elemanı bulunmaz. Buradan cevap 8 olur.
  2. A kümesinden p ve m elemanlarını çıkarırız bir B ={n, o, r} kümesi elde edilir. B kümesinin alt küme sayısı 23 = 8 olur. Bu alt kümelerin herbirine p ve m eklenirse cevap 8 olur.
  3. P,m ve n elemanları A kümesinden çıkarılarak B = {o,r} kümesi elde edilir. B kümesinin her alt kümesinde p, m ve n elemanları bulunmaz. B kümesinin alt küme sayısı 22 = 4 olur. Bunların her birine p ve m eleman olarak eklenirse cevap 4 olur.
  4. P ve m elemanlarından yalnız biri bulunur demek, p elemanının bulunup m elemanının bulunmadığı alt küme sayısı ile m elemanının bulunup p elemanının bulunmadığı alt küme sayısının toplanması demektir. m elemanının bulunup p elemanının bulunmadığı alt küme sayısı 23 = 8 olur. P elemanının bulunup m elemanının bulunmadığı alt küme sayısı da aynı yöntemle 8 bulunur. Bu durumda cevap 8+8 = 16 olur.
  5. Tüm alt küme sayısından p ve m elemanlarının hiç bulunmadığı alt küme sayısı çıkarılırsa sonuca ulaşılır. Bu durumda cevap 25 – 23 = 32 – 8 = 24 olur.

Örnek: A = {a, b, c} ve B ={a, b, c, ç, d, e, f} kümeleri veriliyor. A ≠ T ve B ≠ T olmak üzere, A ⊆ T ⊆ B koşuluna uyan kaç tane T kümesinin yazılabileceğini bulunuz.

Çözüm:

B kümesinin A kümesinden farklı elemanlarının sayısı 4 olup bu kümenin 24 = 16 tane alt kümesi vardır. Bu 16 kümenin biri A, biri B kümesidir. Dolayısıyla bu alt kümelerden A ve B kümelerinin olmadığı 16-2 = 14 küme vardır. Bu kümelere a, b, c elemanları eklenerek T kümesinin olası durumları bulunur. Cevap 14 olur.

İki Kümenin Eşitliği

Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümelerinin eşitliği A = B ile gösterilir.

A ve B eşit küme olmak üzere

  • A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı olduğu için A ⊆ B dir.
  • B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı olduğu içi B ⊆ A dır.

Bu durumda A = B iken A ⊆ B ve B ⊆ A dır.

A ve B kümelerinin birbirinden farklı en az bir elemanı varsa A ile B eşit olmayan kümelerdir denir ve bu durum A ≠ B ile gösterilir.

Örnek:

Aşağıdaki kümelerden birbirine eşit olanları bulunuz.

A = {x | x, mutlak değeri 5 ten küçük tam sayılar}

B = {x | x, 4 ten küçük doğal sayılar}

C = {x | x, karesi 25 ten küçük tam sayılar}

D ={x | -5 < x < 5, x bir tam sayı}

Çözüm:

Kümeler liste yöntemi ile

A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

B = {0, 1, 2, 3}

C = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

D = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

Yazılır. A, C ve D kümelerinin her elemanı aynı olduğu için bu üç küme birbirine eşittir. Bu durum A = C = D ile gösterilir.

Eşit kümeler birbirinin alt kümesi olduğundan A, C ve D kümelerinin her biri diğerinin alt kümesidir.

Kümelerde İşlemler

A ve B gibi iki kümenin tüm ortak elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı verilir. Kesişim işlemi “⋂” sembolü ile gösterilir.

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, ortak özellik yöntemi ile A ⋂ B = {x | x ∈ A ve x ∈ B } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

Özellik:

A ve B gibi herhangi iki küme için s(A ⋃ B) = s(A) + s(B) – s(A⋂B) olur

A ⋂ B = ∅ ise s(A ⋂ B) = 0 olacağından s(A ⋃ B) = s(A) + s(B) ile hesaplanır.

Örnek:

s(A)=3.s(B) , s(A⋃B) = 16 ve s(A⋂B) = 4 ise s(A) nı bulunuz.

Çözüm:

s(B)=x olsun s(A)=3x olur.

Bu durumda s(A⋃B) = s(A) + s(B) – s(A⋂B)

                    16 = 3x+x-4

                    20 = 4x

                      x = 5 olur.

Buradan s(A) =3.x = 3.5 = 15 bulunur.

Kümelerde Fark İşlemi

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı adı verilir. A – B veya A \ B ile gösterilir.

Örnek: A = {p, r, s,  ş, t} ve B = {r, ş, m, n} kümeleri için A\B ve B\A kümelerini bulup Venn şeması ile gösteriniz.

Özellik: A ve B eşit küme ise A\B = B\A = ∅ olur.

Özellik: A ⋂ B = ∅ ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. A ve B ayrık kümeler ise A\B = A ve B\A = B olur.

Bir Kümenin Tümleyeni

E evrensel kümesine ait bir A kümesi için A kümesinde bulunmayıp E kümesinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni adı verilir ve A’ ile gösterilir. Ortak özellik yöntemiyle A’ = {x | x ∈ A ve x ∈ E } olarak ifade edilir.

Özellik:

  1. (A’)’ = A
  2. A ⋂ A’ = ∅
  3. A ⋃ A’ = E
  4. E’ = ∅ ve ∅’ = E
  5. A \ A’ = A
  6. E \ A = A’ ve A \ E = ∅
  7. s(A) + s(A’) = s(E)

Özellik:

  1. A \ B = A ⋂ B’

B \ A = B ⋂ A’

  1. De Morgan kuralları

(A⋃B)’ = A’ ⋂ B’

(A⋂B)’ = A’ ⋃ B’

Örnek:

E evrensel kümesinde tanımlı A, B ve C kümeleri için s(A) + s(B’)=22, s(B) + s(C’)=12 ve s(C)+s(A’)=14 olarak veriliyor. Buna göre  E evrensel kümesinin eleman sayısını bulunuz.

Çözüm:

s(A) + s(B’)=22

s(B) + s(C’)=12

s(C)+s(A’)=14

Taraf tarafa toplarsak s(E)+ s(E)+ s(E) = 48 olur. Buradan s(E)=16 bulunur.

 

Örnek:

Aşağıda verilen eşitlikleri sembolik mantık kurallarını kullanarak gösteriniz.

  1. E ⋂ A = A
  2. A \ B = A ⋂ B’
  3. A ⋂ (A’ ⋃ B) = A ⋂ B

Çözüm:

A kümesi p, B kümesi q önermesi ile gösterilsin.

  1. E ⋂ A kümesi sembolik mantıkla 1 Λ p ile gösterilir. 1 Λ p = p olduğundan E ⋂ A = A olur.
  2. A \ B = {x | x ∈ A Λ x ∉ B } olduğundan A \ B kümesi sembolik mantıkla p Λ q’ ile gösterilir. Buradan A \ B = A ⋂ B’ olur.
  3. A ⋂ (A’⋃B) kümesi sembolik mantıkla p Λ (p’ V q) ile gösterilir.

p Λ (p’ V q) ≡ (p Λ p’) V (p Λ q)

                    ≡ 0 V (p Λ q)

                    ≡ (p Λ q)

olduğundan A ⋂ (A’ ⋃ B) = A ⋂ B olur.

Örnek:

A ⋃ [ (A ⋂ B)’ ⋂ (A’ ⋃ B) ] küme işlemini sembolik mantık kurallarını kullanarak en sade biçimde yazalım.

Çözüm:

A ⋃ [ (A ⋂ B)’ ⋂ (A’ ⋃ B) ]

A kümesi sembolik mantıkta p önermesi ile,

B kümesi sembolik mantıkla q önermesi ile,

“⋃” işlemi sembolik mantıkta “V” ile,

“⋂” işlemi sembolik mantıkta “Λ” ile gösterilerek mantık kuralları uygulanırsa

≡ p V [ (p Λ q)’ Λ (p’ V q)]

≡ p V [ (p’ V q’) Λ (p’ V q)]

≡ p V [p’ V (q’ Λ q)]

≡ p V(p’ V 0)

≡ p V p’ ≡ 1 olur.

Sembolik mantıkta 1 kümelerde E evrensel kümesi ile gösterildiğinden

A ⋂[(A ⋂ B)’ ⋂ (A’ ⋃ B)] = E olur.

Küme İşlemleri Yardımıyla Problem Çözümü

Örnek:

42 kişilik bir turist kafilesinde yalnızca İngilizce bilenlerin sayısı yalnız Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır. İngilizce ve Fransızca bilenlerin sayısı 6, İngilizce veya Fransızca bilmeyenlerin sayısı 18 ise İngilizce bilen kaç turist vardır?

Çözüm:

Yalnız Fransızca bilenlerin sayısına x diyelim, yalnız İngilizce bilenlerin sayısı 2x olur. Verilen tüm bilgiler Venn şemasıyla gösterilir. Her bölgedeki sayı ve değişkenlerin toplamı kafiledeki turist sayısını verir.

2x+6+x+18 = 42

               3x = 42 – 24

               3x = 18

                 x = 6 olur.

İngilizce bilen turist sayısına s(İ) dersek,

s(İ) = 2x+6

s(İ) = 2.6+6

s(İ) = 18 bulunur.

Örnek:

Gözlüklü ve gözlüksüz öğrencilerin bulunduğu bir sınıfla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir.

  1. Gözlüklü kız öğrenci sayısı gözlüksüz erkek öğrenci sayısının 2 katıdır.
  2. Gözlüklü erkek öğrenci sayısı gözlüksüz erkek öğrenci sayısından 3 eksiktiktir.
  • Gözlüksüz kız öğrenci sayısı gözlüklü kız öğrenci öğrencilerin sayısının yarısından 3 fazladır.
  1. Gözlüksüz veya erkek öğrenci sayısı 21 dir.

Bu bilgilere göre sınıf mevcudu kaçtır?

Çözüm:

Gözlüksüz erkek öğrenci sayısına x dersek gözlüklü kız öğrenci sayısı 2x, gözlüklü erkek öğrenci sayısı x-3 ve gözlüksüz kız öğrenci sayısı x+3 olur. Bu bilgiler tablo yardımı ile aşağıdaki gibi gösterilir.

Gözlüksüz veya erkek öğrenci sayısı 21 olarak verildiğine göre,

x+3+x+x-3 = 21

              3x = 21

                x = 7 olur.

Sınıf mevcudu ise 2x+x+3+x-3+x = 5x = 35 olur.

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

Sıralı İkili

Her ikisi de boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A kümesinden bir a elemanı, B kümesinden bir b elemanı alınarak elde edilen ve (a,b) şeklinde gösterilen ifadeye sıralı ikili adı verilir. Bu gösterimde “a” ya birinci bileşen, “b” ye ise ikinci bileşen adı verilir.

NOT:

A ve b birbirinden farklı ise (a,b) ve (b,a) sıralı ikilileri de birbirinden farklıdır. Sıralı ikili yazılımında bileşenlerin yazılış sırası önemlidir.

Sıralı İkililerin Eşitliği

(a,b) ve (c,d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum (a,b)=(c,d) şeklinde gösterilir.

Bu eşitllikte a=c ve b=d dir.

Örnek:

(2x-4 , 3y+6)=(-10, 18) eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz.

Çözüm:

2x-4 = -10  

2x = -10 + 4

2x = -6 

x = -3  olur.

 

3y+6 = 18

3y = 18 – 6

3y = 12    

y = 4 olur.                            

Örnek:

(x2 , |y|) = (16 , 3) eşitliğini sağlayan x ve y sayılarının toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Çözüm:

X2 = 16 ise x = 4 veya x = -4 olur.

|y| = 3 ise y = 3 veya y = -3 olur.

x in en küçük değeri -4 ve y nin en küçük değeri -3 olacağından toplamları en küçük değeri -4-3 = -7 olur.

Kartezyen Çarpım Kümesi

Birinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni ise bir B kümesinden alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve A x B ile gösterilir. A x B kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi

A x B = {(a,b) | a ∈ A ve b ∈ B} dir.

Örnek:

A = {a, b, c} ve B = {1,2} kümeleri veriliyor. A x B ve B x A kümelerini bulunuz.

Çözüm:

A kümesindeki her eleman B kümesindeki her elemanla eşlenirse

A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)} olur.

B kümesindeki her eleman A kümesindeki her elemanla eşlenirse

B x A = {(1,a), (2,a), (1,b), (2,b), (1,c), (2,c)} olur.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

  1. A ve B birbirinden farklı iki küme ise A x B ≠ B x A olur. Kümeler yer değiştirdiğinde farklı sıralı ikililer oluşacağı için kartezyen çarpımları da birbirinden farklı kümeler oluştururlar.
  2. A x ∅ = ∅ x A = ∅ olur. Boş kümenin Kartezyen çarpımına ekleyebileceği herhangi bir elemanı olmadığı için kartezyen çarpımının sonucu da yine boş küme bulunur.

Örnek:

A = {1, 3, 5, 7, 9} ve B ={a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A x B, B x A, A x A, B x B kümelerinin eleman sayısını bulalım.

Çözüm:

s(A) = 5 ve s(B) = 4 olur.

s(AxB) = 5.4 = 20

s(BxA) = 4.5 = 20

s(AxA) = 5.5 = 25

s(BxB) = 4.4 = 16

s(AxB) = s(BxA) olduğuna dikkat etmeliyiz.

NOT:

A ve B herhangi iki küme olmak üzere s(A) = a ve s(B) = b ise

s(AxB) = a.b olur.

Örnek:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi veriliyor. AxA kümesinin elemanlarından kaç tanesinde 1.bileşen ve 2.bileşenin birbirinden farklı olduğunu bulalım.

Çözüm:

s(A) = 6 ve s(AxA) = 6.6 = 36 olur.

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) elemanlarının bileşenleri aynı olup 6 tanedir. AxA kümesinin tüm elemanlarından, bileşenleri aynı olan elemanlar çıkarılırsa geriye bileşenleri aynı olmayan elemanlar kalır. Bu durumda bileşenlerin birbirinden farklı olduğu eleman sayısı 36-6 = 30 olur.

Örnek:

Eleman sayıları birbirinden farklı A ve B kümeleri veriliyor. s(AxB) = 36 ise A ⋃ B kümesinin eleman sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerini bulalım.

Çözüm:

s(AxB) = s(A).s(B) olarak yazılır.

s(A) = 36 ve s(B) = 1 olarak seçilip A ve B ayrık iki küme olarak düşünülürse s(A ⋃ B) = s(A) + s(B) = 36+1 = 37 olur. Bu durumda birleşimleri en çok 37 elemanlıdır.

s(A) = 9 ve s(B) = 4 olarak seçilip A ⊆ B olarak düşünülürse s(A ⋃ B) = 9 Bu durumda birleşimleri en az 9 elemanlıdır.

This Post Has One Comment

  1. furkan

    Teşekkür ederim

Bir cevap yazın