6. sınıfta bir doğal sayının bölenleri ve katları nasıl bulunur ve ortak bölenler ve katlarkonularını öğrenmiştik. Şimdi ise iki veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmayı, en büyük ortak bölenini bulmayı, kısaca Ebob Ekok nasıl bulunur öğreneceğiz.
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
İki ya da daha fazla sayma sayının her birini tam bölen sayıların en büyüğüne bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB u) denir.
Örnek: 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
Burada bir önceki konudan çarpanlar(bölenler) den yararlanacağız.
12′ in çarpanları(bölenleri) : 1, 2, 3, 4, 6, 12′ dir.
18′ in çarpanları(bölenleri) : 1, 2, 3, 6, 9, 18′ dir.
12 ve 18 in ortak bölenleri : 1, 2, 3, 6
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) = 6 bulunur.
Şimdi Bölen Listesiyle nasıl bulacağımızı öğrenelim.
BÖLEN LİSTESİ İLE EBOB BULMA
iki veya daha fazla sayı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayı olan 2 den başlarız.
Verilen sayılar 2′ ye bölünmüyorsa asal sayıları büyülterek devam ederiz. Verilen sayılar 1 olana kadar
bölme işlemine devam ederiz. Asal sayıların EBOB ta yazılabilmesi için verilen sayıların hepsini aynı anda bölmesi gerekiyor.
Yukarıdaki örneği incelersek verilen sayılar 18 ve 24′ ü en küçük asal sayı olan 2 ye böleriz. İkisini de böldüğü için 2′ yi daire içine alırız. Verilen sayılar 2′ ye bölünmediği zaman ve 1 olmadılarsa 2 den sonra gelen 3 asal sayıya böleriz. 3 sayısı iki sayıyı da böldüğü için daire içine alırız. Verilen sayılar 1 olana kadar işlem devam eder. Daire içine aldığımız sayıları çarptığımızda EBOB (18,24) = 6 buluruz.
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)
İki ya da daha fazla sayma sayının her birine tam bölünen sayılardan en küçük olanına bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK u) denir.
Örnek: 3 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
3′ nın katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 ,48, …
8′ in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …
3 ve 8′ in ortak katları: 24, 48, …
Bu ortak katlardan en küçüğü Ekok’ tur. EKOK (3,8) = 24 bulunur.
BÖLEN LİSTESİ İLE EKOK BULMA
iki veya daha fazla sayı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayı olan 2 den başlarız. Verilen sayılar 2′ ye bölünmüyorsa asal sayıları büyülterek devam ederiz. Verilen sayılar 1 olana kadar bölme işlemine devam ederiz. Burada asal sayılar kaç kere kullanıldıysa Ekok’ ta o kadar kullanılır.
Yukarıdaki örnekte 36 ve 48′ i en küçük asal sayı olan 2’ye bölerek başlarız. 36 ve 48′ den biri 2’ye bölünmediğinde bir büyük asal sayı olan 3’e geçeriz sayıları 3′ e bölmeye devam ettikten sonra iki sayıda 1 olduğunda işlem biter. Çizginin sağındaki sayıları çarparak 36 ve 48′ in En Küçük Ortak Katını buluruz. EKOK (36,48) = 144 buluruz.
Özellikler:
- a ve b iki pozitif tam sayı ise, EBOB (a,b).EKOK(a,b) = a.b dir.
Örnek: 8 ve 12 sayıları ile özelliği inceleyelim.
EBOB (8,12) = 4
EKOK (8,12) = 24
EBOB(8,12) x EKOK(8,12) = 4 x 24 = 96
İki sayının çarpımı 8 x 12 = 96 eşit bulunur.
- Birbirinin tam katı olan sayıların EBOB’ ları küçük sayıya EKOK’ ları büyük sayıya eşittir.
Örnek: 12 ve 24 sayıları için inceleyelim.
EBOB (12,24) = 12
EKOK (12,24) = 24
- Bulduğumuz EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz.
- a ve b aralarında asal iki pozitif tam sayı ise,
EBOB (a,b) = 1 ve EKOK (a,b) = a.b
EBOB – EKOK PROBLEMLERİ
EBOB EKOK problemlerinde verilen sorunun EBOB ile mi EKOK ile mi yapılacağını bulmak için dikkat etmemiz gereken durumlar var.
EKOK: İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Karşılaştığımız sorularda parçalardan bütüne gitmemiz gerekiyorsa genelde EKOK kullanırız.
EKOK Soru Türleri:
- Bilyeler, cevizler, fındıklar üçer, beşer sayılıyorsa veya sayıldıktan sonra artan oluyorsa,
- Sınıfta öğrenciler ikişer, üçer sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalan oluyorsa
- Ziller, saatler birlikte bir daha ne zaman çalar diye soruluyorsa,
- Otobüs, tren, vapur birlikte bir daha ne zaman hareket eder diye soruluyorsa
- Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa EKOK kullanılır.
Örnek: Bir poşetteki fındıklar 2 şerli, 5 şerli, 6 şarlı sayıldığında fındık artmıyor. Buna göre, bu poşette en az kaç fındık vardır?
Çözüm:
EKOK (2,5,6) = 2.3.5 = 30 fındık bulunur.
EBOB: İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Karşılaştığımız sorularda bütünü parçalara ayırmamız isteniyorsa genelde EBOB kullanırız.
EBOB Soru Türleri:
- Şişelerde, çuvallarda, bidonlarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,
- Tarla, bahçe, arsa etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,
- Kumaşlar, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,
- İnsanlardan oluşan gruplar için kaç araba, otobüs, oda gerekir diye sorulursa,
- Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, deponun içine kaç küp sığar diye sorulursa,
- Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa EBOB kullanılır.
Örnek: Uzunlukları 24 cm, 36 cm ve 42 cm olan üç ayrı çubuk eşit uzunlukta parçalara bölünmek isteniyor. Buna göre, her bir parçanın uzunluğu en çok kaç cm olur?
Çözüm:
EBOB (24,36,42) = 6 cm bulunur.
Soru: Ebatları 3 cm, 5 cm, 2 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki eş tahta bloklar yanyana ve üst üste yerleştirilerek içi dolu bir küp yapılacaktır. Bu bloklardan hazırda 815 tane bulunmaktadır. Bu iş için en az kaç tane daha eş tahta blok gerekir?
Çözüm:
Yapılacak olan küpün bir ayrıtının uzunluğu 3, 5, 2’nin ortak bir katı olmalıdır.
Bu durumda 3, 5, 2’nin Ekokunu hesaplarız. Bu sayılar aralarında asal olduğu için Ekok üç sayının çarpımına eşit olur.
Ekok (3,5,2) = 3.5.2 = 30 bulunur.
Buradan, kullanılacak tahta blok sayısı
Blok Sayısı = (Küpün hacmi) : (Blokların Hacmi)
= (30.30.30) : (3.5.2)
= 10.6.15
= 900 bulunur.
Hazırda 815 tane tahta blok bulunduğuna göre, bu iş için en az 900-815 = 85 tane daha blok gerekiyor.
Soru: Dairesel bir pisti 20, 30 ve 40 dakikada koşabilen üç atlet, aynı anda aynı yerden yarışa başlıyorlar. Yarışa başladıktan sonra ikinci kez başlangıç noktasında yan yana geldiklerinde hızlı koşan atlet kaç tur atmış olur?
Çözüm:
20, 30 ve 40’ın Ekokları atletlerin ilk kez yan yana gelecekleri süreyi verir.
Ekok (20,30,40) = 2.2.2.3.5 = 120 bulunur.
İkinci kez yan yana gelmeleri için 120.2 = 240 dakika geçmeli. Hızlı koşan atlet, pisti 20 dakikada tamamlayan atlettir. Buna göre 240 dakika süresince,
240 : 20 = 12 tur atmış olur.