8. Sınıf Çarpanlar ve Asal Çarpanlar

Bir doğal sayının çarpanlarını bulmayı 6. sınıfta çarpanlar ve katlar konusunda öğrenmiştik. Asal sayılar ve bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmayı da yine 6. Sınıfta asal sayılar ve asal çarpanlar konusunda öğrenmiştik. 8. sınıf çarpanlar ve katlar konusunun ilk kazanımı olan bu konuda ise bunları hatırlayıp, pozitif tam sayıları üslü ifade veya üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmayı öğreneceğiz.

Doğal Sayıların Çarpanları/Bölenleri

  • Her doğal sayı, iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanları denir.
  • Bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.

Örnek: 48 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım. 48 sayısını iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazabiliriz.

48 = 1 x 48
48 = 2 x 24
48 = 3 x 16
48 = 4 x 12
48 = 6 x 8

Şeklinde yazabiliriz devamında 6 x 8 i daha önceden yazdığımız için 8 x 6 yı tekrar yazmıyoruz.
Bu durumda 48 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 dir.
Bu sayılar 48′ i kalansız olarak bölebildiği için aynı zamanda 48 sayısının bölenleri oluyor.

Örnek: 72 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım. 72 sayısını iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazabiliriz.

72 = 1 x 72
72 = 2 x 36
72 = 3 x 24
72 = 4 x 18
72 = 6 x 12
72 = 8 x 9

Şeklinde yazabiliriz devamında 8 x 9 u daha önceden yazdığımız için 9 x 8 i tekrar yazmıyoruz.

Bu durumda 72 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 olmak üzere 12 tane pozitif çarpanı vardır. Bu sayılar aynı zamanda 72 yi kalansız olarak böldüğü için 72 sayısının bölenleri olurlar. 

Asal Sayılar

  • 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayı ile tam bölünmeyen, 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
  • 1 asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2 dir.
  • Asal sayılardan sadece 2 sayısı çifttir. Diğer asal sayılar tektir.
  • İki basamaklı bir doğal sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için sayının sırasıyla 2, 3, 5, 7 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılır. Eğer bölünmüyorsa asal sayıdır.

Örnek: 91 sayısı asal sayı mı? 91′ in çarpanlarını bulalım.

91 = 1 x 91
91 = 7 x 13

91 sayısının çarpanları arasında 1 ve kendisinden başka 7 ile 13 olduğundan 91 sayısı asal sayı değildir.

Örnek: 13, 19, 30, 38, 41, 57, 64 sayılardan hangisi asal sayıdır? 

Çözüm: 2 haricindeki çift sayılar asal sayı değildir. Buna göre, 30, 38, 64 sayıları asal sayı değildir. 57 sayısı 3 ile tam bölünür. Dolayısıyla asal sayı değildir. 13, 19 ve 41 sayıları 1 ve kendisinden başka sayma sayı ile tam bölünmedikleri için asal sayı olurlar.

1 den 100′ e kadar 25 tane asal sayı vardır. Bunlar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97′ dir.

Doğal Sayıların Asal Çarpanlarına Ayrılması

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir.

Örnek: 30 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

30 = 1 x 30
30 = 2 x 15
30 = 3 x 10
30 = 5 x 6

30 sayısının pozitif çarpanları 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 olarak bulunur. Bu çarpanlar arasında asal sayı olanlar 2, 3, 5 olduğundan 30 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5 tir.

1-BÖLEN LİSTESİ

Asal çarpanlarına ayrılacak sayı, dikey olarak çizilen çizginin soluna yazılır. Bu sayıyı bölen en küçük asal sayı, çizginin sağına yazılarak soldaki sayı sağdaki sayıya bölünür. Bulunan bölüm, çizginin solundaki ilk sayının altına yazılır. Bu sayıyı bölen en küçük asal sayı çizginin sağındaki ilk sayının altına yazılır. Aynı işlemlere bölüm 1 olana kadar devam edilir.
Örnek: 36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısını en küçük asal sayı olan 2’den başlayarak asal sayılara böleriz. 1 olana kadar bu işleme devam ederiz. 1’i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında olan asal sayılar 36 sayısının asal çarpanlarıdır. 36 sayısı asal çarpanların çarpımı bu şekilde 36 = 22 . 32 yazılır.

 

Örnek: Bölen listesinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.

Çözüm: Birinci bölen listesi, bölen listesinde soldaki sayıyı sağdaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız.Bilinen kısım alt tarafta olduğu için alt taraftan başlamalıyız 

: 3 = 5 olduğundan A = 15 bulunur.

B : 2 = 15 olduğundan B = 30 bulunur.

C : 2 = 30 olduğundan C = 60 bulunur.

İkinci bölen listesi, 

7 : A = 1 olduğundan A = 7 bulunur.

70 : B = 35 olduğundan B = 2 bulunur.

C : 2 = 70 olduğundan C = 140 bulunur

Üçüncü bölen listesi,

A : 5 = 5 olduğundan A = 25 bulunur.

B : 3 = 25 olduğundan B = 75 bulunur.

C : 3 = 75 olduğundan C = 225 bulunur.

2- ÇARPAN AĞACI

Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlardır. Çarpan ağacındaki dalların uçlarındaki sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

Örnek: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

36 = 1 x 36
36 = 2 x 18
36 = 3 x 12
36 = 4 x 9
36 = 6 x 6

36 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36′ dır. Buradan 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3′ tür. Bunu çarpan ağacı yöntemiyle bulalım.

Çarpıldığında 36′ yı veren 1′ den büyük iki doğal sayıy 36′ nın iki dalına yazarız. Burada 2 sayısı asal olduğu için daire içine aldık. 18 sayısı asal olmadığı için bu sayıdan iki dal çıkarırız bu sayıların çarpımları 18 olmalıdır. Burada yine 2 sayısı asal olduğu için daire içine alırız. 9 sayısı asal olmadığı için iki dal çıkarırız ve dallardaki sayıların çarpımı 9 olacak şekilde iki tarafa da 3 yazılır. Tüm dalların ucundaki sayılar asal olduğu için çarpan ağacı oluşmuş olur. Buradan daire içine aldığımız sayıları çarparız. 36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 36 = 22 . 3bulunur.

Örnek: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60′ tır.

Buradan 60 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5 bulunur. Çarpan ağacı ile bulalım.

Çarpıldığında 60 sayısını veren 1′ den büyük iki doğal sayıyı 60′ ın iki dalına yazarız. 6 ve 10 asal sayı olmadıkları için her iki sayıdan iki dal çıkarırız. 6 sayısının dallarına 2 ve 3 yazarız. İki sayıda asal oldukları için daire içine alırız. 10 sayısının dallarına 2 ve 5 sayılarını yazarız. İki sayıda asal sayı oldukları için daire içine alırız. Tüm dalların ucundaki sayılar asal olduğu için çarpan ağacı oluşmuş olur. Buradan daire içine aldığımız sayıları çarparız. 36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 60 = 22 . 3 . 5 ‘tir.

Yeni Nesil Soru: 8/A sınıfı ile 8/B sınıfının takımları arasında oynanan bir basketbol maçında maça başlayan beşer oyuncunun forma numaraları

8/A : 5, 6, 9, 17, 20

8/B : 10, 14, 20, 24, 28  olarak verilmiştir.

8/A sınıfının takımında forma numarası tek olan oyuncular forma numaralarının 1 hariç pozitif tam sayı çarpanlarının toplamı kadar, forma numarası çift olan oyuncular forma numaralarının kendisi hariç pozitif tam sayı çarpanlarının toplamı kadar skor üretmişlerdir. 8/B sınıfının takımındaki oyuncuların her birinin ürettiği skor kendi forma numarasının yarısı kadardır.

Bu maçta oyuncu değişikliği olmadığına göre maç skoru aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

8/A sınıfında forma numarası tek olan oyuncular 5, 9, 17’dir.

5 = 1.5

9 = 1.9 = 3.3

17 = 1.17

1 hariç pozitif tam sayı çarpanlarının toplamını alıyoruz.

5 + 3 + 9 + 17 =34 olur

8/A sınıfında forma numarası çift olan oyuncular 6, 20’dir.

6 = 1.6 = 2.3

20 = 1.20 = 2.10 = 4.5

Kendisi hariç pozitif tam sayı çarpanlarının toplamını alıyoruz.

1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 5 + 10 =27 olur

27 + 34 = 61 bulunur.

8/A sınıfının skoru 61’dir

8/B sınıfının skorunu bulmak için her oyuncunun forma numarasının yarısını buluruz.

10, 14, 20, 24, 28 hepsinin yarısını alalım

5, 7, 10, 12, 14 olur.

5 + 7 + 10 + 12 + 14 = 48 olur.

8/B sınıfının skoru 48’dir.

Bir cevap yazın